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<!DOCTYPE html>

<title>Meridianbogen</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Meridianbogen</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>Meridianbogen</b> wird eine nord-südlich verlaufende <a href="Messprofil" title="Messprofil">Messstrecke</a> auf der <a href="Erdoberfl%C3%A4che" title="Erdoberfläche">Erdoberfläche</a> oder ihr mathematisches Äquivalent auf dem <a href="Erdellipsoid" class="mw-redirect" title="Erdellipsoid">Erdellipsoid</a> bezeichnet (vgl. <a href="Meridian_(Geographie)" title="Meridian (Geographie)">Meridian</a>).

</p><p>Erstgenannte Messstrecke kann bei der „Methode der <a href="Gradmessung" title="Gradmessung">Gradmessung</a>“ zur Bestimmung der mittleren <a href="Erdkr%C3%BCmmung" title="Erdkrümmung">Erdkrümmung</a> und damit des <a href="Erdradius" title="Erdradius">Erdradius</a> dienen. Dazu müssen auch die <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">geografischen Breiten</a> der beiden Streckenendpunkte (φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>) gemessen werden. Diese <a href="Breitenbestimmung" title="Breitenbestimmung">Breitenbestimmungen</a> erfolgen <a href="Astrogeod%C3%A4sie" title="Astrogeodäsie">astronomisch</a>, indem die <a href="H%C3%B6henwinkel" class="mw-redirect" title="Höhenwinkel">Höhenwinkel</a> von Sternen beobachtet werden.

</p><p>Die Strecke wird nun auf <a href="Meeresniveau" class="mw-redirect" title="Meeresniveau">Meeresniveau</a> reduziert und ihre Länge mit dem Unterschied der geografischen Breiten verglichen. Hat der Meridianbogen die <a href="Geografische_L%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Geografische Länge">Länge</a> <i>B</i> und die Breitendifferenz den Betrag β = |φ<sub>1</sub>-φ<sub>2</sub>|, so ergibt sich der lokale <a href="Kr%C3%BCmmungsradius" class="mw-redirect" title="Krümmungsradius">Krümmungsradius</a> mit R = B/β. Zusammen mit einem zweiten Meridianbogen kann daraus die Form des Erdellipsoids abgeleitet werden – wie z. B. 1735–1740 bei den berühmten Expeditionen der <a href="Pariser_Akademie" class="mw-redirect" title="Pariser Akademie">Pariser Akademie</a> nach <a href="Lappland" title="Lappland">Lappland</a> und <a href="Peru" title="Peru">Peru</a>.

</p><p>Seit ca. 1900 werden in der <a href="Geod%C3%A4sie" title="Geodäsie">Geodäsie</a> jedoch statt der Meridianmethode ausgedehnte <a href="Netz_(Geod%C3%A4sie)" title="Netz (Geodäsie)">Vermessungsnetze</a> verwendet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutende_Meridianbögen_bis_1900"><span id="Bedeutende_Meridianb.C3.B6gen_bis_1900"></span>Bedeutende Meridianbögen bis 1900</h2></div>

<p>Die ersten Meridianbögen der Wissenschaftsgeschichte dienten dem Nachweis der kugelförmigen <a href="Erdfigur" title="Erdfigur">Erdfigur</a> und ihrer Größe. Nach der <i>Erdmessung des <a href="Eratosthenes" title="Eratosthenes">Eratosthenes</a></i> ist hier die Gradmessung des Kalifen <a href="Al-Ma'mun" class="mw-redirect" title="Al-Ma'mun">Al-Ma'mun</a> zu erwähnen, ein 2° langer Bogen bei <a href="Bagdad" title="Bagdad">Bagdad</a>, der für den Meridiangrad 122 km ergab (heutiger Wert je nach <a href="Geografische_Breite" class="mw-redirect" title="Geografische Breite">Breitengrad</a> 111–112 km). Überliefert ist auch die Messung von <a href="Fernel" class="mw-redirect" title="Fernel">Fernel</a> 1525 nördlich von Paris mittels <a href="Sonnenbeobachtung" title="Sonnenbeobachtung">Sonnenbeobachtungen</a> und Wagenrad-Umdrehungszählungen. Um 1615 vermaß <a href="Willebrord_van_Roijen_Snell" title="Willebrord van Roijen Snell">Willebrord van Roijen Snell</a> einen Meridianbogen zwischen <a href="Alkmaar" title="Alkmaar">Alkmaar</a> und <a href="Bergen-op-Zoom" class="mw-redirect" title="Bergen-op-Zoom">Bergen-op-Zoom</a> erstmals mit der <a href="Triangulation_(Geod%C3%A4sie)" title="Triangulation (Geodäsie)">Triangulation</a> großer Dreiecke. <a href="Jean_Picard" title="Jean Picard">Jean Picard</a> bestimmte 1670 als Erster die Länge des Meridianbogens durch Triangulation mit <a href="Quadrant_(Astronomie)" title="Quadrant (Astronomie)">Quadranten</a>, die <a href="Messfernrohr" title="Messfernrohr">Messfernrohre</a> mit <a href="Fadenkreuzokular" title="Fadenkreuzokular">Fadenkreuzokularen</a> zum Anvisieren des Gestirns hatten. Damit wurde eine bis dahin nicht mögliche Präzision erreicht.

</p><p>Als eine merkliche Abweichung von der Kugelform – also die <a href="Erdellipsoid" class="mw-redirect" title="Erdellipsoid">ellipsoidische</a> Erdfigur – zu vermuten war, folgten im 18. und 19. Jahrhundert mehrere bedeutende <a href="Gradmessung" title="Gradmessung">Gradmessungen</a>, vor allem

</p>

<ul><li>die französische <a href="Erdmessung" title="Erdmessung">Erdmessung</a> in Lappland und Peru</li>

<li>der <a href="Meridianbogen_Kremsm%C3%BCnster" title="Meridianbogen Kremsmünster">Meridianbogen Kremsmünster</a> in Oberösterreich</li>

<li>weitere Gradbögen in Deutschland, Italien und Österreich-Ungarn, v. a. Rom – Rimini (<a href="Roger_Boscovich" class="mw-redirect" title="Roger Boscovich">Roger Boscovich</a> 1751) und Brünn – Varasdin (Wiener Meridian) von <a href="Joseph_Liesganig" title="Joseph Liesganig">Joseph Liesganig</a> 1761</li>

<li>der <a href="Jean-Baptiste_Joseph_Delambre" title="Jean-Baptiste Joseph Delambre">Delambre</a>-<a href="M%C3%A9chain" class="mw-redirect" title="Méchain">Méchain</a>-Bogen von <a href="D%C3%BCnkirchen" class="mw-redirect" title="Dünkirchen">Dünkirchen</a> nach Barcelona (erstmals über 1000 km), 1792–1798</li>

<li>der <a href="Gau%C3%9F" class="mw-redirect" title="Gauß">Gaußsche</a> Bogen Göttingen – Altona (1821–1823), erstmals mittels streng mathematischer <a href="Ausgleichsrechnung" class="mw-redirect" title="Ausgleichsrechnung">Ausgleichsrechnung</a></li>

<li>der 2500 km lange <i>Great Arc</i> in Indien (1802–1841 für die <a href="Gro%C3%9Fe_Trigonometrische_Vermessung" title="Große Trigonometrische Vermessung">Große Trigonometrische Vermessung</a>)</li>

<li>der 3000 km lange <a href="Struve-Bogen" title="Struve-Bogen">Struve-Bogen</a> in Osteuropa (1816–1852) und</li>

<li>seine Einbindung in weitere Bögen für das europäische <a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel-Ellipsoid</a></li>

<li>der <a href="Meridianbogen_Gro%C3%9Fenhain-Kremsm%C3%BCnster-Pola" title="Meridianbogen Großenhain-Kremsmünster-Pola">Meridianbogen Großenhain-Kremsmünster-Pola</a> (~1880–1910) von Sachsen bis zur Adria</li>

<li>und erste Gradmessungen in den <a href="USA" class="mw-redirect" title="USA">USA</a> für das <a href="Hayford-Ellipsoid" title="Hayford-Ellipsoid">Hayford-Ellipsoid</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutende_Meridianbögen_des_20._Jahrhunderts"><span id="Bedeutende_Meridianb.C3.B6gen_des_20._Jahrhunderts"></span>Bedeutende Meridianbögen des 20. Jahrhunderts</h2></div>

<p>Ab etwa 1900 wurden neben astronomischen <a href="Breitenbestimmung" title="Breitenbestimmung">Breitenmessungen</a> bzw. meridional ausgerichteten Vermessungsnetzen auch <a href="L%C3%A4ngenbestimmung" title="Längenbestimmung">Längenbestimmungen</a> (also Ost-West-Profile) gemessen, die ab etwa 1910 allmählich ausgedehnten Flächennetzen wichen – siehe <a href="Astro-geod%C3%A4tische_Netzausgleichung" title="Astro-geodätische Netzausgleichung">Astro-geodätische Netzausgleichung</a>.

</p><p>Von den modernen Meridianbögen sind von besonderer Bedeutung:

</p>

<ul><li>der Meridianbogen von Spitzbergen (gemessen von Russland & Schweden 1898–1902). Mit 4,2° Amplitude (Breitendifferenz) ist er zwar relativ kurz, aber der nördlichste für die Erdmessung nutzbare Bogen</li>

<li>der <a href="S%C3%BCdamerika" title="Südamerika">südamerikanische</a> Meridianbogen von Kolumbien durch ganz <a href="Ecuador" title="Ecuador">Ecuador</a> bis zum Norden Perus, die 1899–1906 erfolgte Nachmessung des berühmten französischen Bogens von 1735 bis 1740</li>

<li>der westeuropäisch-afrikanische Bogen (<a href="Meridian_von_Paris" title="Meridian von Paris">Meridian von Paris</a>) von den <a href="Shetland-Inseln" class="mw-redirect" title="Shetland-Inseln">Shetland-Inseln</a> bis <a href="Laghouat" title="Laghouat">Laghouat</a> bei Algier. Er hat 27° Amplitude und 38 Stationen</li>

<li>die <a href="Nordamerika" title="Nordamerika">nordamerikanische</a> Breitengradmessung im 98°-Meridian von <a href="Mexiko" title="Mexiko">Mexiko</a> bis zum <a href="Arktischer_Ozean" title="Arktischer Ozean">Eismeer</a> (1922)</li>

<li>und weitere Meridionalketten der <a href="USA" class="mw-redirect" title="USA">USA</a> sowie der 23° lange, schiefe Bogen entlang der Ostküste</li>

<li>die <a href="Afrika" title="Afrika">afrikanische</a> Gradmessung im <a href="Geografische_L%C3%A4nge" class="mw-redirect" title="Geografische Länge">Längengrad</a> 30° Ost, initiiert schon von Sir <a href="David_Gill_(Astronom)" title="David Gill (Astronom)">David Gill</a>, aber erst 1953 vollendet. Verlauf von <a href="Kairo" title="Kairo">Kairo</a> bis <a href="Kapstadt" title="Kapstadt">Kapstadt</a>, mit 65° Amplitude das längste Messprofil der klassischen Geodäsie.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</h2></div>

<p>Ein Meridianbogen auf einem <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a> hat die genaue Form einer <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a>. Daher lässt sich seine Länge – gezählt vom <a href="%C3%84quator" title="Äquator">Äquator</a> – als <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">elliptisches Integral</a> berechnen und in Form einer <a href="Potenzreihe" title="Potenzreihe">Reihe</a> nach Funktionen der geografischen Breite φ darstellen:

</p>

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=C\varphi +D\sin 2\varphi +E\sin 4\varphi +F\sin 6\varphi +\cdots }</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab4311bc3aa8804c343527804ba2cf38b980aa24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.612ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle B=C\varphi +D\sin 2\varphi +E\sin 4\varphi +F\sin 6\varphi +\cdots }" loading="lazy"></span> usw.</dd></dl>

<p>Der erste <a href="Koeffizient" title="Koeffizient">Koeffizient</a> <i>C</i> hängt mit dem mittleren Erdradius zusammen und beträgt für das <a href="Bessel-Ellipsoid" title="Bessel-Ellipsoid">Bessel-Ellipsoid</a> 111,120 km/Grad. Der zweite Koeffizient <i>D</i> hängt mit der <a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Erdabplattung</a> zusammen und beträgt 15,988 km. Die Werte für andere Ellipsoide unterscheiden sich ab der vierten Stelle.

</p><p>Die Entwicklung mittels <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Exzentrizität (Mathematik)">Exzentrizität</a> <i>e</i><sup>2</sup> gibt bereits <a href="Jean-Baptiste_Joseph_Delambre" title="Jean-Baptiste Joseph Delambre">Jean-Baptiste Joseph Delambre</a> 1799:

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef8808c4d5d58aba1955f63cd9f97ff33050674b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -15.005ex; width:59.459ex; height:31.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}B\approx &\;a(1-e^{2})\left\{\left(1+{\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {45}{64}}e^{4}+{\frac {175}{256}}e^{6}+{\frac {11025}{16384}}e^{8}\right)\varphi \right.\\&\ -{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {15}{16}}e^{4}+{\frac {525}{512}}e^{6}+{\frac {2205}{2048}}e^{8}\right)\sin 2\varphi \\&\ +{\frac {1}{4}}\left({\frac {15}{64}}e^{4}+{\frac {105}{256}}e^{6}+{\frac {2205}{4096}}e^{8}\right)\sin 4\varphi \\&\ -{\frac {1}{6}}\left({\frac {35}{512}}e^{6}+{\frac {315}{2048}}e^{8}\right)\sin 6\varphi \\&\ +{\frac {1}{8}}\left.\left({\frac {315}{16384}}e^{8}\right)\sin 8\varphi \right\}\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p><a href="Friedrich_Robert_Helmert" title="Friedrich Robert Helmert">Friedrich Robert Helmert</a> benutzte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}\simeq {\frac {e^{2}}{4}}}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b915b8a7790075e47839c0e51a7ad7d7f14f0c70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.869ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}\simeq {\frac {e^{2}}{4}}}" loading="lazy"></span> 1880:

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<p>Allgemeine Formeln gab Kazushige Kawase 2009:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3863f08b91f93803ff829ca732176c664969c51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:71.699ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle B={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}=3n/2i-n}">

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</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Erdquadrant" title="Erdquadrant">Erdquadrant</a></li>

<li><a href="Erdmessung" title="Erdmessung">Erdmessung</a></li>

<li><a href="Referenzellipsoid" title="Referenzellipsoid">Referenzellipsoid</a></li>

<li><a href="Struve-Bogen" title="Struve-Bogen">Struve-Bogen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Jean-Baptiste_Joseph_Delambre" title="Jean-Baptiste Joseph Delambre">J. B. J. Delambre</a>: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.today/20120711/http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?pn=92&ws=1.5&ww=1&wh=1&mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/YTQVS0WC/pageimg"><i>Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien.</i> précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre</a> (<span class="webarchiv-memento"><a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a></span> vom 11. Juli 2012 im Webarchiv <i><a href="Archive.today" title="Archive.today">archive.today</a></i>) De L'Imprimerie de Crapelet, Paris 1799, S. 72–73.</li>

<li><a href="Friedrich_Robert_Helmert" title="Friedrich Robert Helmert">F. R. Helmert</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.org/stream/diemathematisch01helmgoog#page/n67/mode/2up"><i>Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie.</i> Einleitung und 1 Teil</a>. Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig 1880, S. 46–48.</li>

<li>K. Kawase: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.gsi.go.jp/common/000054736.pdf"><i>A General Formula for Meridional Distance from the Equator to Given Latitude.</i></a> (PDF; 1,4 MB). In: <i>Journal of the Geographical Survey Institute.</i> 119, 2009, S. 45–55. (<span class="-print"><a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220430-9081%22&key=cql">0430-9081</a></span></span>; Japanisch)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=ellip/marc0">Online-Berechnung von Meridianbogenlängen auf verschiedenen geodätischen Referenzellipsoiden</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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